Tiếp cận các mô hình vật liệu tiên tiến trong cơ học công trình: Ứng dụng mô hình Grandient bậc hai

Từ khóa:

mô hình vật liệu tiên tiến
môi trường liên tục tổng quát
gradient bậc hai
ứng 
suất bội
ứng suất đúp
phương trình nghiệm yếu

Tóm tắt:

Quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu (kích thước vi mô) sẽ ảnh hưởng đến sự làm việc của cấu kiện, kết cấu (kích thước vĩ mô). Trong công trình xây dựng, các vật liệu phổ biến (bê tông, bê tông cốt thép, đá, đất nền, gỗ...) đều không đáp ứng được những giả thuyết về đồng nhất, đẳng hướng. Chính vì vậy, mô hình vật liệu đàn hồi Hooke, mặc dù được sử dụng phổ biến trong tính toán kết cấu công trình, nhưng luôn phải đi kèm các hệ số (được qui định cụ thể trong các tiêu chuẩn). Vì vậy, nhu cầu về các mô hình vật liệu có thể mô tả chính xác ứng xử của các loại vật liệu không đồng nhất (ở mức mắt thường có thể nhìn thấy) là rất lớn trong nghiên cứu cơ học công trình. Những năm gần đây, các mô hình cơ học liên tục mở rộng (mô hình Cosserat, mô hình gradient bậc hai, mô hình micromorphe...) đang nổi lên như những ứng viên tiềm năng đáp ứng nhu cầu đó. Các mô hình này được mở rộng từ mô hình Cauchy bằng cách thêm vào các bậc tự do, hoặc bằng cách xét thêm vào các gradient bậc cao của chuyển vị. Chúng đều dẫn đến việc phải tạo thêm các ma trận mới (có vai trò tương tự như ma trận độ cứng K trong lý thuyết phần tử hữu hạn), và đưa chúng vào các phần mềm PTHH (nói cách khác là tạo ra các phần tử hữu hạn mới). Bài báo này sẽ giới thiệu một cách tiếp cận trực tiếp hơn với các mô hình vật liệu tiên tiến nói trên, bằng cách khai thác các ứng xử vật liệu đã được công bố, kết hợp với phương trình nghiệm yếu mô tả bài toán cơ học. Tác giả sẽ đưa ra ví dụ khai thác mô hình gradient bậc hai để mô phỏng sự làm việc của một cấu kiện xây dựng.

Nội dung:

Tài liệu tham khảo:

[1]   Tạ, V. (2002). Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn: Giáo trình ngành Toán - tin Đại học Bách Khoa Hà Nội. NXB Khoa học và kỹ thuật.

[2]   COMSOL-Group (2006). Comsol Multiphysics Version 4.4. User’s guide. COMSOL.

[3]   MathWorks, I. (2002). Partial Differential Equation Toolbox for Use with MATLAB: User’s Guide. Computation, visualization, programming, MathWorks, Incorporated.

[4]   Hans Petter Langtangen, A. L. (2017). Solving PDEs in Python: The FEniCS Tutorial I. Simula Springer Briefs on Computing, Springer, 1 edn.

[5]   Hecht, F. (2012). New development in freefem++. J. Numer. Math., 20, 251–265.

[6]   Altenbach, H., Eremeyev, V.-A., Forest, S., and Krivtsov, A. (2013). Generalized Continua as Models for Materials: with Multi-scale Effects or Under Multi-field Actions. Advanced Structured Materials 22, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1 edn.

[7]   Maugin, G. and Metrikine, A. (2010). Mechanics of Generalized Continua: One Hundred Years After the Cosserats. Advances in Mechanics and Mathematics 21, Springer-Verlag New York, 1 edn.

[8]   Altenbach, H., Maugin, G.-A., and Erofeev, V. (2011). Mechanics of Generalized Continua. Springer Berlin Heidelberg.

[9]   Cosserat, E. M. P. and Cosserat, F. (1909). Théorie des corps déformables. Hermann Archives, A. Hermann et fils, 2009 edn.

[10] Polizzotto, C. (2016). A note on the higher order strain and stress tensors within deformation gradient elasticity theories: Physical interpretations and comparisons. International Journal of Solids and Structures, 90, 116–121.

[11] Chambon, R., Caillerie, D., and Matsuchima, T. (2001). Plastic continuum with microstructure, local second gradient theories for geomaterials: localization studies. International Journal of Solids and Structures, 38, 8503–8527.

[12] Kotronis, P., Chambon, R., Mazars, J., and Collin, F. (2005). Local second gradient models and damage mechanics: Application to concrete. 11th International Conference on Fracture, ICF11, vol. 3.

[13] Jouan, G., Soufflet, M., Kotronis, P., and Collin, F. (2017). Second Gradient Models and Concrete Structures. Springer, Cham.

[14] Jouan, G., Kotronis, P., and Collin, F. (2014). Using a second gradient model to simulate the behaviour of concrete structural elements. Finite Elements in Analysis and Design, 90, 50–60.

[15] Bascoul, A., Ollivier, J. P., and Poushanchi, M. (1989) . Stable microcracking of concrete subjected to tensile strain gradient. Cement and Concrete Research, 19, 81–88.

[16] Gribniak, V., Jakubovskis, R., Rimkus, A., Ng, P.-L., and Hui, D. (2018). Experimental and numerical analysis of strain gradient in tensile concrete prisms reinforced with multiple bars. Construction and Building Materials, 187, 572–583.

[17] Ho, J. C. M. and Peng, J. (2011). Strain gradient effects on flexural strength design of normal-strength concrete columns. Engineering Structures, 33, 18–31.

[18] Iliopoulos, S. N., Aggelis, D. G., and Polyzos, D. (2016). Wave dispersion in fresh and hardened concrete through the prism of gradient elasticity. International Journal of Solids and Structures, 78-79, 149–159.

[19] Indriyantho, B. R., Zreid, I., and Kaliske, M. (2019). Finite strain extension of a gradient enhanced microplane damage model for concrete at static and dynamic loading. Engineering Fracture Mechanics, 216, 106501.

[20] Duy-Khanh, T. (2020). Second gradient substitution model for high contrast bi-phase structure. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (NUCE), 14, 116–126.

[21] Trinh, D. (2011). Méthode d’homogénéisation d’ordre supérieur pour les matériaux architecturés. Phd thesis in french, École Nationale Supérieure des Mines de Paris.

[22]         Bacigalupo, A. and Gambarotta, L. (2010). Second-order computational homogenization of heterogeneous materials with periodic microstructure. ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 90, 796–811.